累乘法求通项公式步骤,用累加法和累乘法求数列通项公式

今天给各位分享累乘法求通项公式步骤的知识，其中也会对累乘法求通项公式步骤进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注皮肤病网，现在开始吧！

数列求通项公式方法

数列求通项的方法很多，有以下四种基本方法 （ 1 ）直接法．就是由已知数列的项直接写出，或通过对已知数列的项进行代数运算写出。 （ 2 ）观察分析法．根据数列构成的规律，观察数列的各项与它所对应的项数之间的内在联系，经过适当变形，进而写出第n项a n 的表达式即通项公式。 （ 3 ）待定系数法．求通项公式的问题，就是当n＝ 1，2 … 时求f（n），使f（n）依次等于a1 ，a2 … 的问题．我们可以先设出第n项a n 关于变数n的表达式，再分别令n＝1， 2 … 并取an 分别等于a1 ，a2 … 然后通过解方程组确定待定系数的值，从而得出符合条件的通项公式。 （ 4 ）递推归纳法．根据已知数列的初始条件及递推公式，归纳出通项公式。 一阶数列思路 原式复合 （ 等比形式） 可令an+1 - ζ = A (an - ζ )········① 是原式☉变形后的形式，即再采用待定系数的方式求出 ζ 的值， 整理①式后得an+1 = Aan + ζ - Aζ，这个式子与原式对比可得ζ - Aζ = B，即解出 ζ = B (1-A)。 回代后，令 bn=an- ζ，那么①式就化为bn+1=Abn，即化为了一个以（a1- ζ )为首项，以A为公比的等比数列，可求出bn的通项公式，进而求出 {an} 的通项公式。

数列求通项的方法

　　按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an} 的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。为大家数列求通项的方法，一起来看看吧！ 　　 一、累差法 　　递推式为an+1=an+f(n)(f(n)可求和) 　　思路:令n=1,2,…,n-1可得 　　a2-a1=f(1) 　　a3-a2=f(2) 　　a4-a3=f(3) 　　…… 　　an-an-1=f(n-1) 　　将这个式子累加起来可得 　　an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1) 　　∵f(n)可求和 　　∴an=a1+f(1)+f(2)+ …+f(n-1) 　　我们还要验证当n=1时,a1是否满足上式 　　例1、已知数列{a}中,a1=1,an+1=an+2,求an 　　解 令n=1,2,…,n-1可得 　　a2-a1=2 　　a3-a2=22 　　a4-a3=23 　　…… 　　an-an-1=2n-1 　　将这个式子累加起来可得 　　an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1) 　　∵f(n)可求和 　　∴an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1) 　　当n=1时,a1适合上式 　　故an=2n-1 　　 二、累商法 　　递推式为an+1=f(n)an（f(n)要可求积） 　　思路令n=1,2, …,n-1可得 　　a2a1=f(1) 　　a3a2=f(2) 　　a4a3=f(3) 　　…… 　　anan-1=f(n-1) 　　将这个式子相乘可得ana1=f(1)f(2) …f(n-1) 　　∵f(n)可求积 　　∴an=a1f(1)f(2) …f(n-1) 　　我们还要验证当n=1时，a1是否适合上式 　　例2、在数列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)ann,求an 　　解 令n=1,2, …,n-1可得 　　a2a1=f(1) 　　a3a2=f(2) 　　a4a3=f(3) 　　…… 　　anan-1=f(n-1) 　　将这个式子相乘后可得ana1=21×324×3×…×n(n-1) 　　即an=2n 　　当n=1时，an也适合上式 　　∴an=2n 　　 三, 构造法 　　1、递推关系式为an+1=pan+q (p,q为常数) 　　思路设递推式可化为an+1+x=p(an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q(p-1) 　　故可将递推式化为an+1+x=p(an+x) 　　构造数列{bn},bn=an+q(p-1) 　　bn+1=pbn即bn+1bn=p,{bn}为等比数列. 　　故可求出bn=f(n)再将bn=an+q(p-1)代入即可得an 　　例3、(06重庆)数列{an}中,对于n1(nN)有an=2an-1+3,求an 　　解设递推式可化为an+x=2(an-1+x),得an=2an-1+x,解得x=3 　　故可将递推式化为an+3=2(an-1+3) 　　构造数列{bn},bn=an+3 　　bn=2bn-1即bnbn-1=2,{bn}为等比数列且公比为3 　　bn=bn-1·3,bn=an+3 　　bn=4×3n-1 　　an+3=4×3n-1,an=4×3n-1-1 　　2、递推式为an+1=pan+qn(p,q为常数) 　　思路在an+1=pan+qn两边除以qn+1得 　　an+1qn+1=pqanqn+iq 　　构造数列{bn},bn=anqn可得bn+1=pqbn+1q 　　故可利用上类型的解法得到bn=f(n) 　　再将代入上式即可得an 　　例4、数列{an}中,a1+56,an+1=(13)an+(12)n,求an 　　解 在an+1=(13)an+(12)n两边除以(12)n+1得 　　2n+1an+1=(23)×2nan+1 　　构造数列{bn},bn=2nan可得bn+1=(23)bn+1 　　故可利用上类型解法解得bn=3-2×(23)n 　　2nan=3-2×(23)n 　　an=3×(12)n-2×(13)n 　　3、递推式为an+2=pan+1+qan（p,q为常数） 　　思路设an+2=pan+1+qan变形为an+2-xan+1=y(an+1-xan) 　　也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，则可得到x+y=p,xy= -q 　　解得x,y，于是｛bn｝就是公比为y的等比数列（其中bn=an+1-xan） 　　这样就转化为前面讲过的类型了． 　　例5、已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=(23)·an+1+(13)·an,求an 　　解设an+2=(23)an+1+(13)an可以变形为an+2-xan+1=y(an+1-xan) 　　也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，则可得到x+y=23,xy= -13 　　可取x=1,y= -13 　　构造数列｛bn｝，bn=an+1-an 　　故数列｛bn｝是公比为-13的`等比数列 　　即bn=b1(-13)n-1 　　b1=a2-a1=2-1=1 　　bn=(-13)n-1 　　an+1-an=(-13)n-1 　　故我们可以利用上一类型的解法求得an=1+34×[1-(-13)n-1](nN) 　　 例题 　　 1、利用sn和n的关系求an 　　思路当n=1时，an=sn 　　当n≥2 时, an=sn-sn-1 　　例6、已知数列前项和s=n2+1,求{an}的通项公式. 　　解当n=1时，an=sn＝2 　　当n≥2 时, an=sn-sn-1＝n+1-[(n-1)2+1]=2n-1 　　而n=1时，a1=2不适合上式 　　∴当n=1时，an=2 　　当n≥2 时, an=2n-1 　　2、利用sn和an的关系求an 　　思路利用an=sn-sn-1可以得到递推关系式，这样我们就可以利用前面讲过的方法求解 　　例7、在数列｛an｝中，已知sn=3+2an，求an 　　解即an=sn-sn-1=3+2an-(3+2an-1) 　　an=2an-1 　　∴｛an｝是以2为公比的等比数列 　　∴an=a1·2n-1= -3×2n-1 　　 2、用不完全归纳法猜想, 用数学归纳法证明. 　　思路:由已知条件先求出数列前几项，由此归纳猜想出an，再用数学归纳法证明 　　例8、(2002全国高考)已知数列{an}中,an+1=a2n-nan+1,a1=2,求an 　　解由已知可得a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,a5=6 　　由此猜想an=n+1，下用数学归纳法证明 　　当n=1时，左边＝2，右边＝2，左边＝右边 　　即当n=1时命题成立 　　假设当n=k时，命题成立，即ak=k+1 　　则 ak+1=a2k-kak+1 　　=(k+1)2-k(k+1)+1 　　=k2+2k+1-k2-2k+1 　　=k+2 　　=(k+1)+1 　　∴当n=k+1时，命题也成立． 　　综合(1),(2),对于任意正整数有an=n+1成立 　　即an=n+1

求数列通项公式的方法

在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的检验，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键。 　　求数列通项公式常用以下几种方法 　　一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。 　　例在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。 　　解由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。 　　二、已知数列的前n项和，用公式 　　s1 (n=1) 　　sn-sn-1 (n2) 　　例已知数列{an}的前n项和sn=n2-9n，第k项满足5 　　(a) 9 (b) 8 (c) 7 (d) 6 　　解∵an=sn-sn-1=2n-10，∴52k-108 ∴k=8 选 (b) 　　此类题在解时要注意考虑n=1的情况。 　　三、已知an与sn的关系时，通常用转化的方法，先求出sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。 　　例已知数列{an}的前n项和sn满足an=snsn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。 　　解∵an=snsn-1(n2)，而an=sn-sn-1，snsn-1=sn-sn-1，两边同除以snsn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-} 是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-= -，sn= -， 　　再用(二)的方法当n2时，an=sn-sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以， 　　- (n=1) 　　- (n2) 　　四、用累加、累积的方法求通项公式 　　对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。 　　例设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式 　　解∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0 　　又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an ≠0，∴-=-，由此得出-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，将其相乘得∴ -=-， 　　又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈n) 五、用构造数列方法求通项公式 　　题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有 an(或sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，既是重点也是难点。 　　例已知数列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,…… 　　(1)求{an}通项公式 (2)略 　　解由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝ (--1)(an--) 　　∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。 　　由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--) ，于是an=(--1)n-1(2--)+- 　　又例在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈n)，证明数列{an-n}是等比数列。 　　证明本题即证an+1-(n+1)=q(an-n) (q为非0常数) 　　由an+1=4an-3n+1，可变形为an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1， 　　所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。 　　若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。 　　又例设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。(2)略 　　解由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n-1 　　解题方略

累乘法求数列的通项公式怎么整理

∵(n+1)a(n+1)+a(n+1)an-nan=0 ∴[a(n+1)+an][(n+1)a(n+1)-nan]=0 ∴a(n+1)+an=0，或(n+1)a(n+1)-nan=0 ①当a(n+1)+an=0时，a(n+1)=-an，∴a(n+1)an=-1，是等比数列； ②当(n+1)a(n+1)=nan时，a(n+1)an=n(n+1) 那么ana(n-1)=(n-1)n a(n-1)a(n-2)=(n-2)(n-1) ……………………………… a3a2=23 a2a1=12 累乘，得ana1=1n，∴an=a1n 望采纳

累乘法求数列通项公式，最好能用纸写下详细过程，谢谢。

具体回答如图 按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an} 的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。这正如函数的解析式一样，通过代入具体的n值便可求知相应an 项的值。而数列通项公式的求法，通常是由其递推公式经过若干变换得到。 扩展资料 类比一阶递归数列概念，不妨定义含有an+2 、an+1、an的递推式为二阶数列，而对与此类数列求其通项公式较一阶明显难度大了。 适当的进行运算变形 例{an} 中，a1=3且 an+1 = an2, 求an 解ln an+1= ln an2 = 2 ln an ∴{ln an}是等比数列，其中公比q = 2，首项为ln3 ∴ln an = (2n-1) ln3 故 倒数变换法（适用于an+1 = Aan (Ban + C),其中，A、B、C∈R） [5] 例{an}中，a1=1，an+1 = an ( 2an + 1 ) 解1 an+1 = ( 2an+1 ) an = 1an +2 ∴{1an}是等差数列，首项是1，公差是2 ∴an = 1 (2n-1) 参考资料来源百度百科--数列通项公式

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